◇◇新语丝(www.xys.org)(xys.dxiong.com)(xys.3322.org)(xys.dyndns.info)◇◇ 关于《小学作业越来越让人看不懂》给Sun Sam的答复 书剑子 首先十分感谢大家对我提出的问题的热忱参与。不少朋友给了十分巧妙的解 法，譬如浙江大学的其其、skywalker00、sun sam等。 首先肯定的是：这道题的出题者肯定认为答案就是边长为4的立方体——因 为答案是整数且想当然地用了个小学学过的定理。而正确的答案用到开方，小学 没有学过开方。所以我想一定是出题的人想当然所致。 但是我也该检讨我确实没有认真地思考（我已经被各种题折磨几天了。很多 题是用超过小学的方法思考，再转化为小学能解的过程：譬如他们刚刚学过一元 一次方程。二元一次方程作为稍稍提到的内容，但是一道题我却是用三元一次才 做出来，然后消去一个未知数，再慢慢给消元得到的二元一次方程找出数学意义。 直接列二元一次方程实在太困难了，况且二元一次方程他们也是超纲的，所以看 到这个题居然过分到是用高等数学我实在是忍无可忍了！）我需要检讨一下自己， 以后做人做事需要冷静一些，不能想当然（我批判编者想当然其实我自己也犯了 想当然的错误，但是我并没有断言初等方法不可解，所以贴上来征求解答）。 虽然我高度同意您所说的思维能力的训练，我自己以前做家教的时候就注意 训练学生的思维能力，训练其做数学题就训练严谨的思维、转化未知为已知的能 力、建立实际模型的能力等，训练其物理思维时则训练其对自然的好奇心、身边 的物理现象的观察与解释、物理直觉和数学方法并重、思想实验和动手能力等等。 但是无论如何这道题远远超过了小学生的难度。我不排除可能有天才的小学生能 做出来，就象欧拉一样聪明。但是我们的教育不是培养天才的，而是培养人才的。 不能为了一两个天才的诞生去摧残大量的人才。小学的作业过难只能让他们对自 己产生怀疑，而他们去问老师，这么难的题老师可能短时间也难以回答，于是还 能导致他们怀疑老师和怀疑教材。最终，造成信仰的崩溃。他的老师让他们把做 过的作业重新抄写题目再做一遍。我觉得是浪费时间，建议他停止做这样的体力 劳动，他居然委屈得哭了：一边是“研究生”的叔叔的建议，一边是老师的要求， 他既信任叔叔也信任老师。于是不知道该如何去办！我生气更主要的是因为他打 击学生的自信并让他们怀疑自己和怀疑老师（如果老师不会做）！甚至转而怀疑 教材！而这是很致命的！ 训练学生的思维能力也要逐步进行，也要有启发地进行。而不是一开始就给 学生一个数学猜想去证明吧？这个问题的求解确实很有意思，但是绝非适合小学 生做。放到初中去也是竞赛难度（用skywalker00、sun sam的方法初中生学过， 思维技巧太高，用不等式则是高中内容，不属于教学大纲）。所以我不知道sun sam 所说的“对于小学生来说，解这道题要有很好的想像力和灵活的思路才行。 而这恰恰是素质教育一直提倡的。很可惜的是，我们这些受过高等教育的分子们， 仅仅由于自己思路的僵涩，就去指责出题者把题目出的太难。这究竟是我们自己 的错还是我们已经接受的教育的错?”从何说起。难道你认为这是道优秀的小学 暑假作业题吗？ 如果这道题出在初中的数学竞赛上，可能能算是个好题，出在小学暑假作业 上绝非好题，并且我怀疑出题者可能根本就没有如此深入地去考虑，十之八九是 以为答案为边长为4的正方体（小学没有学过开方，只有这样做才恰好是整数， 我不能不怀疑这个恰好是特意的凑整数——张胖子所说的样子。至于边长为4的 立方体是错误答案，简单运用一下数学思维就可以证明是错误的：小学生都知道 “表面积相等的长方体立方体体积最大”，但是不会证明理解也不会太深刻。但 是出题者对“坐标轮换对称性”应该是很熟悉的，高中生应该也懂得这个道理。 这显然是坐标轮换对称的结果。对于本题由于没有盖子，坐标不再是轮转对称的 了，所以由于条件变了这个定理的结论就不再成立了。但是长和宽依然具有坐标 对称性。所以可以肯定的是：长和宽的比例一定是1：1，也就是说底面一定是正 方形，但是侧面却一定不是正方形）。 基于此我才十分恼怒地批判这道题的，有何不妥？ 对于您所说的：“如果我们的小学教育，甚至中学大学教育，真地能让一半 的学生能自主产生这样的思维能力，我们的素质教育可能早就成功了。”本人也 不敢苟同。难道把这样的题放到小学生的暑假作业上，马上我们的小学生们就 “自主产生这样的思维能力”啦？如果要是一半的小学生都会做“自主产生这样 的思维能力”，“自主攻克这个盒子问题”，那就不是素质教育的问题了，那中 国天才数学家都满天飞了！我不相信也不指望中国会有这么多神童，只希望中国 能多一些基本功扎实，有创新精神的建设者！也多一些对教材编写认真负责的教 育者！ 确实，如果让一个高中生做这个题可能首先想到的就是不等式的方法（高中 求极值的问题就只有不等式这一个工具），而我是学建筑结构的，并且我的研究 方向还跟优化有点关系，用的全是现代的优化算法。我大学本科的时候喜欢数学 建模，而数学建模主要用的也是高等数学的思想。所以思维有些局限在高等数学 上确实是我的一个缺点。一般情况下，大部分人在学过更高级的工具后容易忘记 以前学过的简单工具。 其次，对于剪裁问题我要说两句，不是我较真，而是数学必须讲究严谨。原 题表述为“用一块80平方米的铁皮”而不是“制成表面积为80平方米的无盖子”， 这两个的差别是显著的。“因为您不会想到这块铁皮会七十二变——您想让它是 什么形状它就是什么形状！”，这应该是张胖子讽刺性地模仿出题者的思维。虽 然这个题远远超过小学生的难度，但是这个题提出的背景是很实际的背景。对于 工程实际问题必须考虑到剪裁的方法（边角料是不可避免的），对于一个大型的 结构工程，下料也是个数学问题，必须考虑怎么下料才出现最少的边角料。拓扑 优化是优化里面最高深的内容之一。我曾经帮一个同学为一个企业做了一个下料 的优化模型：建立数据库，统计分析各种尺寸、形状的边角料被再次使用的概率， 然后根据此对一个新的工程在库里选择适宜大小与形状的材料，使得一个新的玻 璃被反复剪裁以后边角料最小。在做的过程中就会发现形状（拓扑约束条件）比 其他约束条件难处理得多，并且我并不是严格地用拓扑优化理论去做的——这种 理论对我来说也几乎是看天书！ 至此，如果把题目的表述修改的严谨一些，有如下四种解法： 一、大家学过高等数学的都想到的拉格朗日乘子法，答案自然是最严谨的 （因为是经过严格证明的），但是这个显然是没有受过高等教育的人无法接受的 （拉格朗日乘子法的思想精髓可能不是每个学高等数学的人都掌握的，甚至拉格 朗日乘子法的证明可能也不是每个人都懂的）。 二、其其等给的不等式解法。这个方法是高中生最可能给的解法，数学基础 可靠，过程简单。我对他的解法进一步简化：三个数连加为常数，那么此三个数 的乘积在三个数相等的时候取最大值： 即：（a+b+c 》3（abc）^(1/3) 在a=b=c 时取最值 [说明：(3)式中 》表示‘大于、等于号’，^(1/3)表示开三次方]） 所以，当2zy=2zx=xy时，也即长宽高的比例为2：2：1时， 2zy*2zx*xy=4(xyz)^2=4v^2取最大值,且由 80 》3（4v^2）^(1/3) 推出 最值为V=（1/2）（80/3）^(3/2) 三、最巧妙的不过是sun sam、skywalker00的答案：体现了转化未知问题为 已知问题：用两块这样的铁皮制作两个这样的没有盖子的盒子口对口合在一起就 是一个“有盖子”的盒子。那么假设两个这样的铁皮在一起，分别做一个盒子， 那么显然两个盒子都体积最大的时候，它两组成的盒子体积才最大（解的存在性 是显然的，解的唯一性也是很容易证明的。前提是两个盒子一样！否则没有这个 推理就不正确！），这个思维过程是严谨的。这样就把没有盖子的问题转化为已 知问题：表面积相等的情况下，立方体体积最大，所以每个盒子的高都是长的一 半也是宽的一半。进一步体积是半个大盒子的体积。这个思维过程是小学生能接 受的。并且具有启发作用！ 四、Wangyu用增量的思维方式（带有原始的导数的朴素思想），找出了搜索 方向（其实你的这个方法类似于其他数值算法中的梯度法），然后首先得出了长 与宽相等的结论（其实这个结论由坐标轮换对称是可以一下子给出来的，我在前 面已经说过了），但是然后在下面用了挺繁杂的讨论和类似无穷小分析的思想。 这个看似简单，实际很不简单。 虽然小学生聪明的能听半懂，但是小学生是绝对不可能如此聪明到自己会这 样做的，因为我们是学习过高等数学的人才会如此思考，如果小学生如此聪明的 话，那将来的成就一定超过牛顿、欧拉、拉格朗日、伯努力、希尔伯特等人！我 猜测如果没有错的话，Wangyu先生应该是数学的科班出身的。 现在这个问题应该是尘埃落定了，确实，从讨论中可以受到不少启发。特别 是skywalker00、SUN的解法。这个解题的思维我在做优化和微积分的时候也用过 不少次（通过增删使得对称性增加，你这个方法的本质是通过增加新的部分使得 其坐标轮换性增加一个维度，从而转化为已知的结论）。 向其其、skywalker00、sun sam等人表示衷心的感谢！ (XYS20050814) ◇◇新语丝(www.xys.org)(xys.dxiong.com)(xys.3322.org)(xys.dyndns.info)◇◇